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 课程介绍  

  
  《简明数学分析》,共五章,第一章,极限.实数.函数;第二章,微分学;第三章,积分学;第四章,级数;第五章,流形上的积分。其主要特点是:注重知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性,在许多方面打破了传统,表现在:


  (1)在第一章中严格地讲授实数的定义。学生们早在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,“有理数和无理数统称为实数”。要讲清“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”,必须引入极限的概念。以往大多数数学分析课本对于实数概念常用Dedekind分割方法讲授。这种的方法完全脱离学生们已有的认识,而且即使是对于高年级学生,也是费解的。它要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质,不能推广应用于一般距离空间的完备化。我们承袭学生从初中就已接受的认识,着力用极限的观点把这个概念讲解清楚。即使部分学生一时理解不透,以后在学泛函分析,遇到距离空间的完备化的时候,认识也必有一大提高。这可以说是这本书的第一个“打破常规”的地方。

  (2) 实数讲清楚了,接着用级数严格地定义学生们在中学就知道的指数函数。学生们早就熟悉这个函数的各种性质了。现在这些性质都通过极限概念,直截了当地从定义得出。

  
(3)把单变量和多变量一块儿讲。可强化学生对于多变量函数的认识。现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高。以往对于多变量理论的讲述不够充分。学生们在中学阶段的学习中已经与一元初等函数打了6年交道,有了接受多变元函数概念的基础。在讲多元函数的导数时,一方面要把一元函数作为特例同时也是最基本的情况讲透彻,同时又要强调多元与一元确有本质上不同的地方,不可一概把多元情形看成是一元情形的简单推广。接着,花些力气把多维空间之间的变换,特别是可导变换的概念讲清楚,这将是多元积分变量替换的理论基础。也是偏微分方程论等课程中不可少的基础知识。

  (4)用Lebesgue积分取代Riemann积分。Riemann积分是19世纪创立的理论,是有缺陷的理论。20世纪创立的Lebesgue积分理论克服了Riemann积分的缺陷,是完备的理论。传统的作法是在大学一年级讲Riemann积分,在三年级再讲授Lebesgue理论。这种做法,少说也历时50年了。过去人们常认为Lebesgue积分比较难,怕学生难于接受。这种担心的基本根据,是以往(三年级)的实变函数论课(其实就是Lebesgue积分论课)常让人觉得又难教又难学。其实,这可能正是Riemann积分和Lebesgue积分分家的副作用。 我们要做的是通过实践把原以为困难的东西设法化解为易于为多数学生接受的东西。几年来的实践表明,用Lebesgue积分取代Riemann积分不但是理所应当的,而且是完全可行的。

  (5) 对于求原函数(不定积分)的技巧部分, 做了适当压缩,并加入使用计算机的练习。

  (6)“参变积分”理论不再单列一章,而是作为积分论的一节;“数项级数”也不单列一章。适当减少同样内容的重复,节奏紧一点,腾出时间让学生主动发挥。

  (7) 注意与后续课程的衔接,不躲避相关学科的重要概念.例如, 对于Euclid空间的基本拓扑概念,作触类旁通的介绍,对于学生将来进一步学习其它学科,树立数学的整体概念是有好处的。在讲幂级数的时候,扩展到复数域去讲,为与解析函数论的沟通预做准备。

   教学方式的改进:从第二学期的后半段开始,使用讨论班的方式,进行专题讨论。我们为第二学期设计了8个专题:(1)Stirling 公式, (2) Euler常数,(3) Cantor集和Cantor函数,(4) Peano曲线,(5) 周期3蕴含混沌,(6) 分布函数和Stieljes积分, (7)单调函数的导数, (8) Gamma函数,Wallis公式;为第三学期设计了12个专题:(1)Manifolds,(2)Inverse function theorems,(3)ζ函数在偶数点的值,(4)代数与分析中的一些结论,(5)Weierstrass定理,(6)Chebeshev理论,(7)Markoffs定理,(8)正交多项式,(9)内插法与内插过程,(10)Bernoulli多项式,(11)函数空间,(12)近似求积。

  

  附录:华东师范大学张奠宙教授对于《简明数学分析》的推荐信(阅读)



 

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