教学大纲
授课教案
参考文献
习题
A
教学大纲
 


一、课程类型

  数学与应用数学专业的公共必修课

二、课程的目的与要求

  大纲的依据:江泽民同志在第三次全国教育工作会议上的讲话(l999年6月15日)谈及人才成长规律时说过:“学得好的影响和带动学得不太好的,水平高的影响和带动水平比较低的,这样就可以促进共同进步与提高。必须坚决克服用‘一个模子’来培养人才的倾向。本大纲旨在按照因材施教的方法培养学生,兼顾能力强和能力差一些的学生。以本人编写的《简明数学分析》为教材。

  教学目的: 使初入大学的学生扎实地学好微积分的基本知识,为进一步的发展建立稳固的基础。

  内容安排: 分三个学期,第一学期讲前两章:第一章、极限·实数·函数;第二章、微分学 ;第二学期讲第三章、积分学;第三学期讲最后两章:第四章、级数;第五章、曲线和曲面上的积分。

  学时安排: 总学时324,每学期108,讲新课与习题课的学时比例为2:1。

  考试安排: 每学期期中和期末各笔试一次。

三、课程内容与学时分配

  第一章、极限·实数·函数(36+18学时)

  §1 有理数列的极限(习题1.1)
  §2 有理数的小数表示(习题1.2)
  §3 实数的定义(习题1.3)
  §4 实数列与实数集的一些性质(习题1.4)
  §5 n维Euclid空间 Rn(习题1.5)
  §6 n元函数
   6.1 一元函数
   6.2 多元函数
   6.3 连续函数空间C(E)(习题1.6)

  第二章、微分学(36+18学时)

  §1 导数
   1.1方向导数、导数
   1.2 一元情形
    1.2.1 重要的例子
    1.2.2 一元函数导数的几何意义和物理应用
    1.2.3 一元函数的求导法则
    1.2.4 一元函数的微分中值定理
    1.2.5 通过导数求极限的L'Hospital法则
   1.3可导的充分条件及求导算律
   1.4 高阶偏导数
   1.5. 导数的几何意义、切线和切平面(习题 2.1)

  §2 Taylor公式
   2.1公式
   2.2 一元初等函数的Taylor展开
   2.3 函数的局部极值性质(习题2.2)

  §3 可微变换
   3.1 基本概念(习题2.3.1)
   3.2 可微变换的复合(习题2.3.2)
   3.3 逆变换(习题 2.3.3)

  §4 隐函数
   4.1 特殊情形
   4.2 一般情形(习题2.4)

  §5 条件极值(习题2.5)

  §6 几何应用
   6.1 曲线
   6.2 曲面(习题2.6)

   §7 原函数(习题2.7)

 
  第三章 积分学(72+36学时)

  §1 测度
   1.1 外测度
   1.2 测度
   1.3 Borel集是可测集
   1.4 通过开集刻画可测集

  §2 可测函数
   2.1 基本概念
   2.2 可测函数的结构(习题3.2)

  §3 积分的定义及基本性质(习题3.3)

  §4 几乎连续函数的积分(习题3.4)

  §5 微积分基本定理(习题3.5)

  §6 积分号下取极限
   6.1 关于积分号下取极限的定理
   6.2 积分号下取极限的定理的应用
    1 参变积分的一般性质
    2 具体的例
   6.3 广义参变积分的积分号下取极限
    1 定理及其应用
    2 几个判断广义参变积分一致收敛的充分条件(习题3.6)

  §7 把多重积分化为累次积分(习题3.7 ),

  §8 积分的变量替换
   8.1 Rn 上的正则变换是可测变换(习题3.8.1)
   8.2 线性变换下的积分计算公式(习题3.8.2)
   8.3 正则变换下的积分计算公式(习题3.8.3)
   8.4 变量替换的实例(习 题 3.8.4)

  §9 一类重要的参变积分---Euler 积分(习题 3.9)

  §10 函数空间L(R)(习题 3.10)

  第四章 级数 (40+20学时)

  §1 收敛判别法(习题4.1)

  §2 一致收敛(习题4.2)

  §3 求和号下取极限(习题4.3)

  §4 幂级数与Taylor展开
   4.1一般性讨论(习题4.4.1)
   4.2函数的Taylor展开(习题4.4.2)

  §5 三角函数与Fourier展开
   5.1三角级数
   5.2 Fourier级数
   5.3 Fourier部分和
   5.4 局部化原理
   5.5 一致收敛问题
   5.6 Fejer(习题4.5)

  §6 用代数多项式一致逼近连续函数 (习题4.6)

  第五章 曲线和曲面上的积分(22+11学时)

  §1 曲线积分
   1.1 曲线的长度及曲线上的测度(习题5.1.1)
   1.2 第一型曲线积分(习题5.1.2)
   1.3 第二型曲线积分(习题5.1.3)

  §2 曲面积分
   2.1 曲面上的测度(习题5.2.1)
   2.2 第一型曲面积分(习题5.2.2)
   2.3 第二型曲面积分(习题5.2.3)

  §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
   3.1 R2中的Green公式
   3.2 Gauss公式(习题5.3.1-5.3.2)
   3.3 R3中的Stokes公式(习题5.3.3)

  §4 场( 习题5.4)